Матрицы, определители, системы линейных уравнений определение матрицы. Виды матриц
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
Определители второго и третьего порядка.
Свойства определителей. Теорема разложения.
Теорема Крамера.
Заключение
Литература
В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражениевида:
(1)
Числа а11, …, а22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21 - п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида:
Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.
Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
" + " " – "
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента аi j обозначается Мi j . Так для элемента а11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента аi j обозначается Аi j.
Таким образом, Аi j = .
Выпишем алгебраические дополнения для элементов а11 и а12.
.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
.
В развернутом
виде:
.
Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.
Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.
использовали разложения по второй строке.
Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.
Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.
3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
(3)
Здесь х1, х2 – неизвестные;
а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.
b1, b2 – свободные члены.
Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х1, х2, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.
В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Обозначим определитель системы D.
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1 и при, х2.
Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:
Рассмотрим без доказательства следующую теорему:
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)
Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D № 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
(4)
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.
Ответ: х1 = 3; х2 = -1
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(5)
В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.
Определитель системы D имеет вид:
Введем три дополнительных определителя:
Аналогично формулируется теорема.
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3)
Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы (6) – это формулы Крамера.
ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Отметим только один случай:
Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).
Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Если
,
то единственное
решение системы
находится по
формулам Крамера:
Дополнительный
определитель
получается
из определителя
D, если в
нем столбец
коэффициентов
при неизвестном
xi заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Похожие рефераты:
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей.
Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
** 
,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
-
определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:
Пример 2.
.
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы - (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
К началу страницы
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.
Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
1.1. Системы двух линейных уравнений и определители второго порядка
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Коэффициенты
при неизвестных
и
имеют два индекса: первый указывает
номер уравнения, второй – номер
переменной.
Правило Крамера: Решение системы находят путем деления вспомогательных определителей на главный определитель системы
,
Замечание
1.
Использование правила Крамера
возможно, если определитель системы
не равен нулю.
Замечание 2. Формулы Крамера обобщаются и на системы большего порядка.
Пример
1.
Решить систему:
.
Решение.
;
;
;
Проверка:
Вывод:
Система решена верно:
.
1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:
.
Если
то система имеет единственное решение,
которое определяется по формулам
Крамера:
где
определители
– называются вспомогательными и
получаются из определителя
путем замены его первого, второго или
третьего столбца столбцом свободных
членов системы.
Пример
2.
Решить систему
.
Сформируем главный и вспомогательные определители:
Осталось рассмотреть правила вычисления определителей третьего порядка. Их три: правило дописывания столбцов, правило Саррюса, правило разложения.
а) Правило дописывания первых двух столбцов к основному определителю:
Вычисление проводятся следующим образом: со своим знаком идут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, с обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней.
б) Правило Саррюса:
Со своим знаком берут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, причем недостающий третий элемент берут из противоположного угла. С обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней, третий элемент берут из противоположного угла.
в) Правило разложения по элементам строки или столбца:
Если
,
тогда
.
Алгебраическое
дополнение
– это определитель более
низкого порядка, получаемый путем
вычеркивания соответствующей строки
и столбца и учитывающий знак
,
где
– номер строки,
– номер столбца.
Например,
,
,
и т.д.
Вычислим
по этому правилу вспомогательные
определители
и
,
раскрывая их по элементам первой строки.
Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:
Проверка:
Вывод: система решена верно: .
Основные свойства определителей
Необходимо помнить, что определитель – это число , найденное по некоторым правилам. Его вычисление может быть упрощено, если пользоваться основными свойствами, справедливыми для определителей любого порядка.
Свойство 1. Значение определителя не изменится от замены всех его строк соответствующими по номеру столбцами и наоборот.
Операция замены строк столбцами называется транспонированием. Из этого свойства вытекает, что всякое утверждение, справедливое для строк определителя, будет справедливым и для его столбцов.
Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то знак определителя поменяется на противоположный.
Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки определителя равны 0, то определитель равен 0.
Свойство
4.
Если элементы строки определителя
умножить (разделить) на какое-нибудь
число
,
то и значение определителя увеличится
(уменьшится) в
раз.
Если элементы какой-нибудь строки, имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Свойство 5. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки, то такой определитель равен 0.
Свойство 6. Если элементы какой-нибудь строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей.
Свойство 7. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки добавить элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.
В этом определителе вначале ко второй строке прибавили третью, умноженную на 2, затем из третьего столбца вычли второй, после чего вторую строку прибавили к первой и третьей, в результате получили много нулей и упростили подсчет.
Элементарными преобразованиями определителя называются упрощения его благодаря использованию указанных свойств.
Пример 1. Вычислить определитель
Непосредственный подсчет по одному из рассмотренных выше правил приводит к громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно воспользоваться свойствами:
а) из І строки вычтем вторую, умноженную на 2;
б) из ІІ строки вычтем третью, умноженную на 3.
В результате получаем:
Разложим этот определитель по элементам первого столбца, содержащего лишь один ненулевой элемент.
.
Системы и определители высших порядков
Систему
линейных уравнений с
неизвестными можно записать в таком
виде:
Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных элементарных преобразований и дальнейшего разложения.
Пример 4. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение найдем двумя способами:
а) путем прямого разложения по элементам первой строки:
б) путем предварительных преобразований и дальнейшего разложения
|
|
а) из І строки вычтем ІІІ |
|
|
б) ІІ строку прибавим к ІV |
Пример 5. Вычислить определитель пятого порядка, получая нули в третьей строке с помощью четвертого столбца
|
|
из первой строки вычтем вторую, из третьей вычтем вторую, из четвертой вычтем вторую, умноженную на 2. |
из
второго столбца вычтем третий:
из
второй строки вычтем третью:
Пример 6. Решить систему:
Решение. Составим определитель системы и, применив свойства определителей, вычислим его:
(из
первой строки вычтем третью, а затем в
полученном определителе третьего
порядка из третьего столбца вычитаем
первый, умноженный на 2). Определитель
,
следовательно, формулы Крамера применимы.
Вычислим остальные определители:
Четвертый столбец умножили на 2 и вычли из остальных
Четвертый столбец вычли из первого, а затем, умножив на 2, вычли из второго и третьего столбцов.
.
Здесь
выполнили те же преобразования, что и
для
.
.
При
нахождении
первый столбец умножили на 2 и вычли из
остальных.
По правилу Крамера имеем:
После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в правильности решения системы.
2. МАТРИЦЫ и ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
В РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- Системы m
линейных уравнений с n
неизвестными.
Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
b i , i = 1, …, m — свободные члены;
x j , j = 1, …, n — неизвестные.
Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
где (A |B ) — основная матрица системы;
A — расширенная матрица системы;
X — столбец неизвестных;
B — столбец свободных членов.
Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений. - Системы n линейных уравнений с n неизвестными
Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера.
Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. . - Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Теорема Кронекера−Капелли .
Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
2) rang(Α) < n − решений бесконечно много. - Метод Гаусса
для решения систем линейных уравнений
Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное от 0;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
4) выбрасывание нулевой строки.
Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. . - Система однородных линейных уравнений.
Однородная система имеет вид:
ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
,
если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
Доказательство :
1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .В общем виде матрицу размером m ×n записывают так
.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной
матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной
матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид 
.ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Равенство матриц
. Две матрицы A
и B
называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a
ij
= b
ij
. Так если 
и 
, то A=B
, если a
11
= b
11
, a
12
= b
12
, a
21
= b
21
и a
22
= b
22
.Транспонирование
. Рассмотрим произвольную матрицу A
из m
строк и n
столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B
из n
строк и m
столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A
с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A
с тем же номером). Итак, если 
, то 
.Эту матрицу B
называют транспонированной
матрицей A
, а переход от A
к B транспонированием
.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A
, обычно обозначают A
T
.Связь между матрицей A
и её транспонированной можно записать в виде .Например.
Найти матрицу транспонированную данной. 
Сложение матриц.
Пусть матрицы A
и B
состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры
. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A
и B
нужно к элементам матрицы A
прибавить элементы матрицы B
, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A
и B
называется матрица C
, которая определяется по правилу, например,
Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A
и ассоциативному (A+B
)+C
=A
+(B+C
).Умножение матрицы на число.
Для того чтобы умножить матрицу A
на число k
нужно каждый элемент матрицы A
умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A
на число k
есть новая матрица, которая определяется по правилу 
или .Для любых чисел a
и b
и матриц A
и B
выполняются равенства: 
Примеры.
. 
Матрицу C
найти нельзя, т.к. матрицы A
и B
имеют разные размеры.Умножение матриц.
Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением
матрицы A
не матрицу B
называется новая матрица C=AB
, элементы которой составляются следующим образом: Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m ×n на матрицу B = (b ij ) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,
.
Найти элементы c
12
, c
23
и c
21
матрицы C
. - Найти произведение матриц.
. 
Найти АВ
и ВА
. 
Найти АВ
и ВА
. , B·A
– не имеет смысла.Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B
≠
B∙A
. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC)
и (A+B)C=AC+BC
.Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A
на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A
, причём AE=EA=A
.Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.Например
, если 
, то 
.
.Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.Примеры.
Вычислить определители второго порядка. 
Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a
11
, a
12
, a
13
и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры.
Вычислить определитель третьего порядка. 
. (x
+3)(4x
-4-3x
)+4(3x
-4x
+4)=0. (x
+3)(x
-4)+4(-x
+4)=0. (x
-4)(x
-1)=0. x
1
= 4, x
2
= 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Доказательство
проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа: 
- При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,
Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. 
Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A
| = –|A
| или |A
| = 0. 
Доказательство
проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)
- Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,
.
- Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,
. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя. 
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
Пусть имеем определитель третьего порядка: 
.Минором
, соответствующим данному элементу a
ij
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i
-ой строки и j
-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a
ij
будем обозначать M
ij
.Например
, минором M
12
, соответствующим элементу a
12
, будет определитель 
, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a
12
, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:
Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.
|
|
.
т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a
21
, a
22
, a
23
. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.Примеры.
- Вычислить определитель, используя его свойства. Прежде чем раскладывать определитель по элементам какой–либо строки, сводя к определителям третьего порядка, преобразуем его, используя свойство 7, сделав в какой–либо строке или столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)Справедлива следующая теорема:Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.Доказательство :- Необходимость
. Пусть для матрицы A
существует обратная матрица A
-1
. Покажем, что |A
| ≠ 0.
. Но с другой стороны 
. Полученное противоречие и доказывает, что |A
| ≠ 0. 
Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица 
, где A
ij
алгебраическое дополнение элемента a
ij
. Найдём AB=C
. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C
будут равны 1. Действительно, например, Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c
22
= c
33
= 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C
равны нулю. Например, 
Следовательно, AB=E
. Аналогично можно показать, что BA=E
. Поэтому B = A
-1
.Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом
,
где A
ij
- алгебраические дополнения элементов a
ij
данной матрицы A
.Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица 
.Примеры.
|A
| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A
. 
Проверка: 
. Аналогично A∙A
-1
= E
. 
. Вычислим |A
| = 4. Тогда 
. 
. 
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы 
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.Здесь матрицы A
и B
известны, а матрица X
неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением
.Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A
| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A
-1
, обратную матрице A
: . Поскольку A
-1
A = E
и E
∙X = X
, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A
-1
B
.Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных
. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A
не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A
-1
B
.Примеры.
Решить системы уравнений. 
Найдем матрицу обратную матрице A
. , 
Таким образом, x
= 3, y
= – 1. 
Итак, х
1 =4,х
2 =3,х
3 =5. 
Выразим искомую матрицу X
из заданного уравнения. 
Найдем матрицу А
-1 . 
Проверка: 
Из уравнения получаем 
. 
Следовательно,
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры.
Решить систему уравнений 
Итак, х
=1, у
=2, z
=3. 
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. 
. Поэтому . МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.